一、选择题
（ ）
A．150°
B．120°
C．60°
D．30°
2．若a=（1，3），b=（－2，－1），则（3a＋2b）•（2a＋5b）等于
[ ]
B．55
C．15
D．205
3．若a=（λ，2），b=（－3，5），且a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围为
[ ]
一定是
[ ]
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
为直角三角形，则k的值为
[ ]
二、填空题
6．若a=（2，3），b=（－4，7），则a在b方向上的投影为________，b在a方向上的投影为________．
7．与a=（3，－4）共线的单位向量是_______，与a=（3，－4）垂直的单位向量是________．
9．已知a=（x－4，x－3），b=（3x－9，－3）．若a∥b，则x=________；若a⊥b，则x＝_______．
，则a的坐标为_______．
三、解答题
11．已知平面内三个已知点A（1，7），B（0，0），C（8，3），D为线段BC上的一点，且（ ＋ + ）⊥BC，求点D的坐标．
12．设 =（3，1）， =（－1，2）， ⊥ ， = + ，且 ∥ ，求 ．
13．已知x=a＋b，y=2a＋b，且|a|=|b|=1，a⊥b．
（1）求|x|，|y|；
（2）若x与y的夹角为θ，求cosθ的值．
14．已知a=（3，4），b=（4，3），c=xa+yb，且a⊥c，|c|=1，求x和y的值．
15．已知锐角三角形ABC的外接圆的圆心为O，M为BC边的中点，由顶点A作AD⊥BC，并在AD上取一点H，使AH=2OM，又H，M在直线BC的同一侧，且 =a， =b，OC=c．
（1）用a，b，c表示 ， ；
（2）证明BH⊥AC，CH⊥AB．
参考答案
一、选择题
1．(A)．
2．(C)．
3a＋2b=(－1，7)，2a＋5b＝(－8，1)，
于是(3a＋2b)•(2a＋5b)＝(－1)×(－8)＋7×1＝15．
3．(A)．
a与b的夹角为θ，θ为钝角时cosθ＜0，即a•b＜0，而a•b=－3λ＋10．
4．(D)．
1＝1＋1＋2×1×1×cosθ，
∴ θ=120°．
由平面几何知识可知△P1P2P3是等边三角形．
5．(D)．
分三种情况．
当A=90°时， ⊥ ， • =0，有
2＋3k＝0，
当B=90°时， ⊥ ， • =0，有
= － =(－1，k－3)，－2＋3(k－3)＝0．
当C＝90°时， ⊥ ， • =0，有
1×(－1)＋k(k－3)＝0，
k2－3k－1＝0，
二、填空题
a在b方向上的投影为ab＝|a|cosθ．
又 a•b＝2×(－4)＋3×7＝13．
对a与b的夹角θ，有
而b在a方向上的投影为ba＝|b|cosθ．
∵ a＝(3，－4)，
设与a垂直的向量为b(b1，b2)，则
3b1－4b2＝0．
8．x=(6，4)或x＝(－6，－4)．
设 x＝(x1，x2)，则
又 x⊥y，y=(－2，3)．
∴ x•y＝0，
－2x1＋3x2=0． ②
由①与②解得
x1=±6，x2=±4．
∴ x=(6，4)或(－6，－4)．
当a⊥b时，x＝3或x＝5．
当a∥b时，
∵ a=(x－4，x－3)，b＝(3x－9，－3)，有
(x－4)×(－3)－(x－3)×(3x－9)=0，
－3x＋12－3x2＋9x＋9x－27=0，
x2－5x＋5=0．
当 a⊥b时，a•b＝0，有
(x－4)(3x－9) ＋(x－3)×(－3)＝0，
x2－8x＋15＝0，
∴ x=3或x=5．
10．a＝(1，－2)．
代入到原函数式，得
∴ h＝1，k=－2．
∴ a＝(1，－2)．
三、解答题
11．∵ A(1，7)，B(0，0)，C(8，3)，
∴ =(8，3)．
又∵ D在线段BC上，
∴ =t (t∈R)．
即 =(8t，3t)，又B(0，0)．
∴ D点坐标为(8t，3t)．
又 =(1，7)， =(－7，4)，
＝(1－8t，7－3t)，
∴ ＋ ＋ ＝(1，7)＋(－7，4)＋(1－8t，7－3t)，
即 ＋ ＋ ＝(－5－8t，18－3t)．
又 ∵ ( ＋ ＋ )⊥ ，
∴ ( ＋ ＋ )•BC＝0．
∴ (－5－8t)×8＋(18－3t)×3＝0．
14－73t＝0，
12．设 =(d1，d2)，
∵ =(3，1)， = ＋ ，
∴ =(d1＋3，d2＋1)．
故 = － =(d1＋4，d2－1)．
又∵ ⊥ ，
∴ • =0，
即 (d1＋3)×(－1)＋(d2＋1)×2=0，
∴ 2d2－d1=1．
①
又∵ ∥ ，
∴ (d1＋4)×1－(d2－1)×3=0，
3d2－d1=7．
②
②－①得 d2=6．代入到①得d1=11，
∴ =(11，6)．
13．(1)|x|2=x2=(a＋b)•(a＋b)
=|a|2＋2a•b＋|b|2．
∵ |a|=|b|=1，a⊥b，
∴ a•b=0．
∴ |x|2=2，
同样，|y|2=y2=(2a＋b)•(2a＋b)=4|a|2＋4a•b＋|b|2=5．
(2)x•y=(a＋b)•(2a＋b)
=2|a|2＋3a•b＋|b|2=3．
14．解法一 ∵ a=(3，4)，b=(4，3)，c=xa＋yb．
∴ c=(3x，4x)＋(4y＋3y)=(3x＋4y，4x＋3y)．
又∵ a⊥c，
∴ a•c=0．
∴ 3(3x＋4y)＋4(4x＋3y)=0，
即 25x＋24y=0．
①
又∵ |c|=1，
∴ (3x＋4y)2＋(4x＋3y)2=1，
25x2＋48xy＋25y2=1，
25x2＋24xy＋24xy＋25y2=1，
x(25x＋24y)＋24xy＋25y2=1．
②
①代入②得
24xy＋25y2=1．
③
解法二 设 c=(c1，c2)．
∵ a⊥c，a=(3，4)．
∴ a•c=0，
3c1＋4c2=0．
又∵ |c|=1，
又已知c=xa＋yb=(3x＋4y，4x＋3y)．
15．(1)∵ M为BC的中点，
由于O为△ABC外接圆的圆心，
∴ OA=OB=OC．
即|a|=|b|=|c|，
∴ • =0，
∴ ⊥ ，
即 BH⊥AC．
同理 = ＋ =a＋b，
=b－a．
∴
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